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<!DOCTYPE html>

<title>Maxwell-Stefan-Diffusion</title>

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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Maxwell-Stefan-Diffusion</span></h1>

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</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Als <b>Maxwell-Stefan-Diffusion</b> (auch <b>Stefan-Maxwell-Diffusion</b>) wird ein <a href="Modell" title="Modell">Modell</a> zur Beschreibung der <a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusion</a> in Multikomponentensystemen bezeichnet. Die Gleichungen, die diese Transportvorgänge beschreiben, wurden von <a href="James_Clerk_Maxwell" title="James Clerk Maxwell">James Clerk Maxwell</a><sup id="cite_ref-Maxwell_1_1-0" class="reference"><a href="#cite_note-Maxwell_1-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> für verdünnte Gase und <a href="Josef_Stefan" title="Josef Stefan">Josef Stefan</a><sup id="cite_ref-Stefan_1_2-0" class="reference"><a href="#cite_note-Stefan_1-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> für Flüssigkeiten parallel und unabhängig voneinander entwickelt. Die Maxwell-Stefan-Gleichung lautet<sup id="cite_ref-TaylorKrishna_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-TaylorKrishna-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-BSL_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-BSL-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup><sup id="cite_ref-Cussler_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Cussler-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>:

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a_{i}{\frac {\nabla \mu _{i}}{R\,T}}=\nabla \ln a_{i}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{{\frac {\chi _{i}\chi _{j}}{{\mathfrak {D}}_{ij}}}({\vec {v}}_{j}-{\vec {v}}_{i})}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{{\frac {c_{i}c_{j}}{c^{2}{\mathfrak {D}}_{ij}}}\left({\frac {{\vec {J}}_{j}}{c_{j}}}-{\frac {{\vec {J}}_{i}}{c_{i}}}\right)}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f80a0fa477361b9798fc23cd60eb57feee5fad13.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.671ex; width:64.802ex; height:9.176ex;" alt="{\displaystyle a_{i}{\frac {\nabla \mu _{i}}{R\,T}}=\nabla \ln a_{i}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{{\frac {\chi _{i}\chi _{j}}{{\mathfrak {D}}_{ij}}}({\vec {v}}_{j}-{\vec {v}}_{i})}=\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}{{\frac {c_{i}c_{j}}{c^{2}{\mathfrak {D}}_{ij}}}\left({\frac {{\vec {J}}_{j}}{c_{j}}}-{\frac {{\vec {J}}_{i}}{c_{i}}}\right)}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<ul><li>∇: <a href="Nabla-Operator" title="Nabla-Operator">Nabla-Operator</a></li>

<li>χ: <a href="Stoffmengenanteil" title="Stoffmengenanteil">Stoffmengenanteil</a></li>

<li>μ: <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemisches Potential</a></li>

<li>a: <a href="Aktivit%C3%A4t_(Chemie)" title="Aktivität (Chemie)">Aktivität</a></li>

<li>i, j: Indizes für Komponente i und j</li>

<li>n: Anzahl der Komponenten</li>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{ij}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/abd6044371ef4d44963c95f1d5cd5e3d350ca861.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:3.411ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{ij}}" loading="lazy"></span>: Maxwell-Stefan-Diffusionskoeffizienten</li>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c1e99e843fffeae2c302f24e96edb76b2cbf915.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.975ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\vec {v}}_{i}}" loading="lazy"></span>: Geschwindigkeit der Komponente i</li>

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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c_{i}}</annotation>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.807ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle c_{i}}" loading="lazy"></span>: <a href="Stoffmengenkonzentration" title="Stoffmengenkonzentration">Stoffmengenkonzentration</a> der Komponente i</li>

<li>c: Gesamtstoffmengenkonzentration</li>

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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9242a9db95e154d2cc5c3844d7ffa361974b3905.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.588ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\vec {J}}_{i}}" loading="lazy"></span>: <a href="Fluss_(Physik)" title="Fluss (Physik)">Stofffluss</a> der Komponente i</li></ul>

<p>Die Gleichung geht von einer homogenen Strömung aus, d. h. der Abwesenheit von Geschwindigkeitsgradienten aus, wie es insbesondere bei ruhenden Medien der Fall ist.

</p><p>Die Grundannahme der Theorie ist, dass eine Abweichung vom Gleichgewicht zwischen molekularer Reibung und thermodynamischen Interaktionen zum Diffusionsfluss führt.<sup id="cite_ref-Rehfeldt_6-0" class="reference"><a href="#cite_note-Rehfeldt-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Die molekulare Reibung zwischen zwei Komponenten ist proportional zu ihrem Geschwindigkeitsunterschied und den Stoffmengenanteilen. Im einfachsten Fall ist der <a href="Gradient_(Mathematik)" title="Gradient (Mathematik)">Gradient</a> des <a href="Chemisches_Potential" title="Chemisches Potential">chemischen Potentials</a> die Antriebskraft der Diffusion. Für komplexere Systeme, wie beispielsweise <a href="Elektrolyt" title="Elektrolyt">elektrolytische Lösungen</a>, und weitere Antriebskräfte, wie beispielsweise Druckgradienten, muss die Gleichung um Terme für zusätzliche Interaktionen erweitert werden.

</p><p>Ein großer Nachteil der Maxwell-Stefan-Theorie ist, dass die Diffusionskoeffizienten, mit Ausnahme der Diffusion verdünnter Gase, nicht den <a href="Diffusionskoeffizient" title="Diffusionskoeffizient">Fickschen Diffusionskoeffizienten</a> entsprechen und daher nicht tabelliert sind. Auch sind die Diffusionskoeffizienten nur für den <a href="Phasendiagramm#Ideale_binäre_Mischung_(Zweistoffsystem)" title="Phasendiagramm">binären</a> und <a href="Tern%C3%A4res_Gemisch" title="Ternäres Gemisch">ternären</a> Fall mit vertretbarem Aufwand zu ermitteln. Für Dreikomponentensysteme existieren eine Reihe von Näherungsformeln zur Vorhersage der Maxwell-Stefan-Diffusionskoeffizienten.<sup id="cite_ref-Rehfeldt_6-1" class="reference"><a href="#cite_note-Rehfeldt-6"><span class="cite-bracket">[</span>6<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p><p>Ein großer Vorteil der Theorie ist, dass Systeme betrachtet werden können, in denen die „klassische“ Ficksche Diffusionstheorie versagt. So sind in der Maxwell-Stefan-Theorie beispielsweise auch negative Diffusionskoeffizienten nicht ausgeschlossen.

</p><p>Es ist möglich, die Ficksche Theorie aus der Maxwell-Stefan-Theorie herzuleiten.<sup id="cite_ref-TaylorKrishna_3-1" class="reference"><a href="#cite_note-TaylorKrishna-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-Maxwell_1-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Maxwell_1_1-0">↑</a></span> <span class="reference-text">J. C. Maxwell: <i>On the dynamical theory of gases</i>, The Scientific Papers of J. C. Maxwell, 1965, <b>2</b>, 26–78.</span>

</li>

<li id="cite_note-Stefan_1-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Stefan_1_2-0">↑</a></span> <span class="reference-text">J. Stefan: <i>Über das Gleichgewicht und Bewegung, insbesondere die Diffusion von Gemischen</i>, Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 2te Abteilung a, 1871, <b>63</b>, 63–124. <a rel="nofollow" class="external text" href="https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hebis:30-1038910">Abrufbar im digitalisierten Original</a>.</span>

</li>

<li id="cite_note-TaylorKrishna-3"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-TaylorKrishna_3-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-TaylorKrishna_3-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">R. Taylor, R. Krishna: <cite style="font-style:italic">Multicomponent Mass Transfer</cite>. Wiley, 1993.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Maxwell-Stefan-Diffusion&rft.au=R.+Taylor%2C+R.+Krishna&rft.btitle=Multicomponent+Mass+Transfer&rft.date=1993&rft.genre=book&rft.pub=Wiley" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-BSL-4"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-BSL_4-0">↑</a></span> <span class="reference-text">R.B. Bird, W.E. Stewart, E.N. Lightfoot: <cite style="font-style:italic">Transport Phenomena</cite>. 2. Auflage. Wiley, 2007.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Maxwell-Stefan-Diffusion&rft.au=R.B.+Bird%2C+W.E.+Stewart%2C+E.N.+Lightfoot&rft.btitle=Transport+Phenomena&rft.date=2007&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.pub=Wiley" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Cussler-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Cussler_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text">E.L. Cussler: <cite style="font-style:italic">Diffusion - Mass Transfer in Fluid Systems</cite>. 2. Auflage. Cambridge University Press, 1997.<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Maxwell-Stefan-Diffusion&rft.au=E.L.+Cussler&rft.btitle=Diffusion+-+Mass+Transfer+in+Fluid+Systems&rft.date=1997&rft.edition=2&rft.genre=book&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

<li id="cite_note-Rehfeldt-6"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-Rehfeldt_6-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-Rehfeldt_6-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">S. Rehfeldt, J. Stichlmair: <i>Measurement and calculation of multicomponent diffusion coefficients in liquids</i>, Fluid Phase Equilibria, 2007, <b>256</b>, 99–104.</span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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